라플라스 변환 Laplace Transform
- 들어가며
- 라플라스 변환의 뜻
- 라플라스 변환의 성질
- 라플라스 역변환
- 라플라스 변환 표
- 기타 예제 풀이
들어가며
라플라스 변환(Laplace transforms)이란 시간 $t$-domain에서 복소수 $s$-domain으로 가는 선형 변환(linear transformation)이다. 이 때 $s = \sigma + j \omega$이다.
라플라스 변환을 이용하면 $t$에 대한 선형 미분방정식을 $s$에 대한 대수방정식으로 변환해 풀어낼 수 있다. 지금 당장 이해할 수 없을지는 몰라도 라플라스 변환의 유용함은 아래의 미분방정식 풀이를 통해 어렴풋이 이해할 수 있다.
다음과 같은 2계 미분방정식
$$x'' + 2x' + 2x = e^{-t}, \;\; x(0) = x'(0) = 0$$
양 변을 라플라스 변환 하면
$$s^2 X(s) + 2sX(S) + 2X(S) = \frac{1}{s+1}$$
이고, 이를 정리하면
$$
\begin{align}
X(s) &= \frac{1}{s+1} \frac{1}{s^2 + 2s + 2} \\
&= \frac{1}{s+1} - \frac{s+1}{(s+1) ^{2} + 1}
\end{align}$$
이다. 이를 라플라스 역변환을 취하면
$$x(t) = e^{-t}(1-\cos{t})$$
이다. 즉, 적당한 함수들에 대한 라플라스 변환과 역변환을 알고 있다면 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 풀어낼 수 있다.
라플라스 변환의 뜻
$t$에 대한 함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L}\{f(t)\}$은 다음과 같의 정의된다.
$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^ {\infty} e^{-st} f(t) dt = F(s)$$
정의에 의해 시간 $t$-domain의 함수 $f(t)$를 복소수 $s = \sigma + j \omega$-domain의 함수로 변환함을 알 수 있다. 물론 이 때 어떻게 단일 변수 $t$에 대한 함수를 두 변수 $\sigma$ 와 $j \omega$에 대한 함수로 만들어 버리냐거나, 적분의 위끝이 무한대인데 과연 잘 수렴하느냐 하는 의문이 들 수 있다. 이런 사소하고도 심오한 문제는 스스로 고민해보도록 하자.
라플라스 변환의 성질
라플라스 변환은 다음에 대한 성질을 가진다
- 선형성
- 주파수 평행이동 성질
- 미분과 적분
- 주기함수
- 합성곱(convolution)
차근차근 알아보자.
- 선형성(linearity)
라플라스 변환은 선형 연산자이다. 즉, 상수 $a, b$와 함수 $f, g$에 대해 다음이 성립한다:
$$\mathcal{L} \{ af + bg \} = a\mathcal{L} \{ f \} + b\mathcal{L} \{g\}$$ - 주파수 평행이동(shifting)
라플라스 변환을 적용할 함수 $f(t)$를 $t$축에서 $a$만큼 평행이동 하면 다음과 같은 성질이 성립한다:
$$\mathcal{L} \{ f(t-a)u(t-a) \} = e^{-at} F(s)$$
이 때 $u(t-a)$는 unit step function $u(t)$를 $t$축으로 $a$만큼 평행이동 시킨 것이다. Unit step function은 그저 0 이하에서 0, 0 이상에서 1인 함수이다. 식의 수학적 결함을 막기 위해 넣은 것이니까 별 것 아니다. - 미분과 적분
라플라스 변환은 미분과 적분에 대해 다음과 같은 성질을 가진다:
$$\mathcal{L}\{ t^n f(t) \} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)$$ - 주기함수
주기가 $T$인 함수 $f(t)$의 라플라스 변환에 대하여 다음이 성립한다:
$$\mathcal{L}\{ f(t) \} = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^{T} e^{-st} f(t)dt$$
증명은 식을 정리한 뒤 무한등비급수의 합을 이용한다. - 합성곱(convolution)
두 함수 $f(t), g(t)$의 convolution $f(t) \ast g(t) $ 에 대하여 다음이 성립한다:
$$\mathcal{L}\{ f(t) \ast g(t) \} = \mathcal{L}\{ g(t) \}\mathcal{L}\{ g(t) \}$$
라플라스 역변환
미분방정식의 풀이를 위해 라플라스 변환으로 $t$-domain의 방정식을 $s$-domain의 방정식으로 만들었다면, 이를 정리한 후 다시 $s$-domain으로 바꿔야 우리가 원하는 해를 얻을 수 있다. 이를 라플라스 역변환이라고 한다.
라플라스 역변환은 아래의 공식으로 정의된다:
$$
\begin{align}
f(t) = \frac{1}{2 \pi j} \int_{a - j \infty} ^{a + j \infty} F(s) e^{st} ds
\end{align}
$$
하지만 일반적으로는 위의 공식을 일일히 적용해 풀지 않고, 라플라스 변환 표를 보고 거꾸로 되돌린다. 이 때 라플라스 변환의 성질을 이용하면 더 간단하다.
라플라스 변환 표
현실적인 라플라스 변환을 위해서는 라플라스 변환 표가 필요하다.
| Function | Laplace Transform | Function | Laplace Transform |
|---|---|---|---|
| $f(t)$ | $F(s)$ | $f(t)$ | $F(s)$ |
| $1$ | $\frac{1}{s}$ | $f'(t)$ | $sF(s)-f(0)$ |
| $t$ | $\frac{1}{s^2}$ | $f''(t)$ | $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ |
| $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $e^{at}f(t)$ | $F(s-a)$ |
| $e^{at}$ | $\frac{1}{s-a}$ | $u(t-a)$ | $\frac{e^{-as}}{s}$ |
| $\sin(at)$ | $\frac{a}{s^2 + a^2}$ | $\delta(t-a)$ | $e^{-as}$ |
| $\cos(at)$ | $\frac{s}{s^2 + a^2}$ | $(f \ast g)(t)$ | $F(s)G(s)$ |
| $\sinh(at)$ | $\frac{a}{s^2 - a^2}$ | $u(t-a)f(t-a)$ | $e^{-as}F(s)$ |
| $\cosh(at)$ | $\frac{s}{s^2 - a^2}$ | $\delta(t-a)$ | $e^{-as}$ |
라플라스 변환의 성질만 잘 이용한다면 정말 외울 것은 $\sin$과 $\cos$, $t^n$ 또는 $e^{at}$ 정도가 되겠다.
기타 예제 풀이
직접 라플라스 변환을 어떻게 사용할 수 있을지 예제를 통해 알아보자.
(a) 다음 함수의 라플라스 역변환을 구하라
$$
\begin{align}
F(s) = \frac{s+3}{s^2 + 6s + 13}
\end{align}
$$
분수를 적당한 완전제곱식으로 변형한 뒤 라플라스 변환의 성질을 이용한다.
$$
\begin{align}
F(s)
&= \frac{s+3}{s^2 + 6s + 13} \\
&= \frac{s+3}{(s+3)^2 + 2^2}
\end{align}
$$
이 경우 분모에 있는 $s+3$을 기준으로 맞추면 $\cos$ 함수의 라플라스 변환과 평행이동 성질을 이용할 수 있다. 즉,
$$
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1} \{ F(s)\}= e^{-3t} \cos{2t}
\end{align}
$$
다음 문제에서는 조금 더 복잡한 모양도 정리해보자.
(b) 다음 함수의 라플라스 역변환을 구하라
$$
\begin{align}
F(s) = \frac{s-1}{2s^2 + 8s + 11}
\end{align}
$$
이것 역시 분모 기준으로 정리한 뒤 라플라스 변환의 성질을 이용하면 된다.
$$
\begin{align}
F(s)
&= \frac{s-1}{2s^2 + 8s + 11} \\
&= \frac{s+2}{2(s+2)^2 + \sqrt{3}^2} - \frac{3}{2(s+2)^2 + \sqrt{3}^2} \\
&= \frac{1}{2} \frac{s+2}{(s+2)^2 + (\sqrt{3}/\sqrt{2})^2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}/\sqrt{2}}{(s+2)^2 + (\sqrt{3}/\sqrt{2})^2}
\end{align}
$$
이 때 역시 $\cos$, $\sin$ 함수의 라플라스 변환과 평행이동 성질을 이용할 수 있다. 즉,
$$
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1} \{ F(s)\} = \frac{1}{2} e^{-2t} \left( \cos{\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}t \right)} - \sqrt{6} \sin{\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}t \right)} \right).
\end{align}
$$
다음은 미분방정식의 예를 알아보자.
(c) 다음 미분방정식을 라플라스 변환을 이용해 풀어라
$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt} + x = 9e^{2t}, \;\; x(0)=3
\end{align}
$$
$$
\begin{align*}
sX(s) - x(0) + X(s) = \frac{9}{s-2} \; \longrightarrow \; sX(s) - 3 + X(s) = \frac{9}{s-2}.
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
(s+1)X(s) &= \frac{9}{s-2} + 3 \\ &= \frac{3(s+1)}{s-2} \;\; \longrightarrow \;\; X(s) = \frac{3}{s-2} \;\; \Longrightarrow \;\; \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{3}{s-2} \right\} = 3e^{2t}.
\end{align*}
$$
$$
\begin{align}
\therefore x(t) = 3e^{2t}
\end{align}
$$
(d) 다음 미분방정식을 라플라스 변환을 이용해 풀어라
$$
\begin{align}
x'' + 2x' + 2x = e^{-t}, \;\; x(0) = x'(0) = 0
\end{align}
$$
$$
\begin{align*}
\underbrace{s^2 X(s) - sx(0) - x'(0)}_{\mathcal{L} \{ x'' \} }+ \underbrace{2(sX(s) - x(0))}_{\mathcal{L} \{ 2x' \} } + \underbrace{2X(s)}_{\mathcal{L} \{ 2x \} } = \underbrace{\frac{1}{s+1}}_{\mathcal{L} \{ e^{-t} \} }
\end{align*}
$$
Since $x(0) = x'(0) = 0$,
$$
\begin{align*}
s^2 X(s) + 2sX(s) + 2X(s) &= \frac{1}{s+1} \\
X(s) &= \frac{1}{s+1} \frac{1}{s^2 + 2s + 2}.
\end{align*}
$$
Let $s+1 = u$ with partial fraction:
$$
\begin{align*}
X(u) &= \frac{1}{u} \frac{1}{u^2 + 1} = \frac{A}{u} + \frac{Bu + c}{u^2 +1}
\end{align*}
$$
imposes
$$
\begin{align*}
A(u^2 +1) + u(Bu + C) = 1 \;\; \longrightarrow \;\; (A+B)u^2 + Cu^2 + A = 1 \;\; \\
\Longrightarrow \;\; (A, B, C) = (1, -1, 0).
\end{align*}
$$
Then
$$
\begin{align*}
X(s) &= \frac{1}{u} - \frac{u}{u^2 +1} = \frac{1}{s+1} - \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1^2} \;\; \Longrightarrow \;\; \mathcal{L}^{-1} \{ X(s) \} = e^{-t} - e^{-t} \cos{t}.
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*} \therefore x(t) = e^{-t} (1 - \cos{t}).\end{align*}
$$